3.60 \(\int \frac{(c+d x)^2}{(a+b \tan (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=654 \[ -\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{2 b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^2 (-b+i a) (a-i b)^2}+\frac{b d^2 \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^3 (a-i b)^2 (a+i b)}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{f (a+i b) (b+i a)^2 \left ((b+i a) e^{2 i e+2 i f x}+i a-b\right )}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f (a-i b)^2 (a+i b)}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 d (-b+i a) (a-i b)^2}+\frac{(c+d x)^3}{3 d (a-i b)^2} \]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 + b^2)^2*f) + (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a + I*b)*(I*a + b)^2*(I*a - b + (I*a + b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a - I*b)^2*d) + (4*b*(c + d*x)^3)/(3*(I*a - b)*(a - I*b)^2*d) - (
4*b^2*(c + d*x)^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I
*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a - I*b
)^2*(a + I*b)*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)
^2*f) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3) + (2*b*d*
(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*f^2) - (2*b^2*d
*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (b*d^2*PolyLog[
3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*f^3) - (I*b^2*d^2*PolyLog[3, -(((
a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.5373, antiderivative size = 654, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 18, number of rules used = 10, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.5, Rules used = {3734, 2185, 2184, 2190, 2531, 2282, 6589, 2191, 2279, 2391} \[ -\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 d \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{f (a+i b) (b+i a)^2 \left ((b+i a) e^{2 i e+2 i f x}+i a-b\right )}+\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^2 (-b+i a) (a-i b)^2}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f (a-i b)^2 (a+i b)}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 d (-b+i a) (a-i b)^2}+\frac{(c+d x)^3}{3 d (a-i b)^2}+\frac{b d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{f^3 (a-i b)^2 (a+i b)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^2/(a + b*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 + b^2)^2*f) + (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a + I*b)*(I*a + b)^2*(I*a - b + (I*a + b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a - I*b)^2*d) + (4*b*(c + d*x)^3)/(3*(I*a - b)*(a - I*b)^2*d) - (
4*b^2*(c + d*x)^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I
*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a - I*b
)^2*(a + I*b)*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)
^2*f) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3) + (2*b*d*
(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*f^2) - (2*b^2*d
*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (b*d^2*PolyLog[
3, -(((a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*f^3) - (I*b^2*d^2*PolyLog[3, -(((
a - I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*f^3)

Rule 3734

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
c + d*x)^m, (1/(a - I*b) - (2*I*b)/(a^2 + b^2 + (a - I*b)^2*E^(2*I*(e + f*x))))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2185

Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Dis
t[1/a, Int[(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1), x], x] - Dist[b/a, Int[(c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)
))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[m, 0
]

Rule 2184

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c
+ d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] - Dist[b/a, Int[((c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)
, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 2191

Int[((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*
((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1))/(b*f*g*n*(p +
1)*Log[F]), x] - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*(p + 1)*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1
), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d x)^2}{(a+b \tan (e+f x))^2} \, dx &=\int \left (\frac{(c+d x)^2}{(a-i b)^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^2}{(i a+b)^2 \left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2}+\frac{4 b (c+d x)^2}{(a-i b)^2 \left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{(4 b) \int \frac{(c+d x)^2}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b)^2}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^2}{\left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{(i a+b)^2}\\ &=\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (i a-b) (a-i b)^2 d}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^2}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(i a-b) (a-i b)^2}-\frac{(4 b) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{a^2+b^2}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{\left (i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{a^2+b^2}\\ &=-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b)^2 (i a+b)}-\frac{(4 b d) \int (c+d x) \log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f}+\frac{\left (4 b^2 d\right ) \int \frac{c+d x}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{\left (2 b d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{\left (4 b^2 d\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)}{i a \left (1+\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b) (a+i b)^2 f}+\frac{\left (4 i b^2 d\right ) \int (c+d x) \log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{\left (b d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) x}{a+i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{\left (2 b^2 d^2\right ) \int \log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{\left (2 b^2 d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (-\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1+\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{b d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}+\frac{\left (i b^2 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{\left (1-\frac{i b}{a}\right ) x}{1+\frac{i b}{a}}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{\left (i b^2 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) x}{a+i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a-i b)^2 (a+i b) \left (i a-b+(i a+b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a-i b)^2 d}+\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (i a-b) (a-i b)^2 d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1+\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{i b^2 d^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}+\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(i a-b) (a-i b)^2 f^2}-\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{b d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{(a-i b)^2 (a+i b) f^3}-\frac{i b^2 d^2 \text{Li}_3\left (-\frac{(a-i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a+i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.91216, size = 714, normalized size = 1.09 \[ \frac{\frac{f x \left (a^2+b^2\right ) \left (3 c^2+3 c d x+d^2 x^2\right ) \cos (2 e+f x)+f x \left (a^2-b^2\right ) \left (3 c^2+3 c d x+d^2 x^2\right ) \cos (f x)+2 b \sin (f x) \left (a f x \left (3 c^2+3 c d x+d^2 x^2\right )+3 b (c+d x)^2\right )}{(a \cos (e)+b \sin (e)) (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}+\frac{2 b \left (\frac{3 d \left (a \left (1+e^{2 i e}\right )-i b \left (-1+e^{2 i e}\right )\right ) (2 a c f+b d) \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-a-i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a-i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )}+\frac{3 a d^2 \left (a \left (1+e^{2 i e}\right )-i b \left (-1+e^{2 i e}\right )\right ) \left (2 f x \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-a-i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a-i b}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,\frac{(-a-i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a-i b}\right )\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )}-\frac{6 c \left (a \left (1+e^{2 i e}\right )-i b \left (-1+e^{2 i e}\right )\right ) (a c f+b d) \left (2 f x+i \log \left ((a-i b) e^{2 i (e+f x)}+a+i b\right )\right )}{f \left (a^2+b^2\right )}+\frac{6 d x \left (a \left (1+e^{2 i e}\right )-i b \left (-1+e^{2 i e}\right )\right ) (2 a c f+b d) \log \left (1+\frac{(a+i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a-i b}\right )}{f (a+i b) (b+i a)}+\frac{6 d x^2 (2 a c f+b d)}{a-i b}+\frac{12 c x (a c f+b d)}{a-i b}+\frac{6 a d^2 x^2 \left (a \left (1+e^{2 i e}\right )-i b \left (-1+e^{2 i e}\right )\right ) \log \left (1+\frac{(a+i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a-i b}\right )}{(a+i b) (b+i a)}+\frac{4 a d^2 f x^3}{a-i b}\right )}{-i a \left (1+e^{2 i e}\right )+b \left (-e^{2 i e}\right )+b}}{6 f \left (a^2+b^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^2/(a + b*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

((2*b*((12*c*(b*d + a*c*f)*x)/(a - I*b) + (6*d*(b*d + 2*a*c*f)*x^2)/(a - I*b) + (4*a*d^2*f*x^3)/(a - I*b) + (6
*d*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d + 2*a*c*f)*x*Log[1 + (a + I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(
e + f*x)))])/((a + I*b)*(I*a + b)*f) + (6*a*d^2*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*x^2*Log[1 +
(a + I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a + I*b)*(I*a + b)) - (6*c*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E
^((2*I)*e)))*(b*d + a*c*f)*(2*f*x + I*Log[a + I*b + (a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x))]))/((a^2 + b^2)*f) + (3*d*((
-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d + 2*a*c*f)*PolyLog[2, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e +
f*x)))])/((a^2 + b^2)*f^2) + (3*a*d^2*((-I)*b*(-1 + E^((2*I)*e)) + a*(1 + E^((2*I)*e)))*(2*f*x*PolyLog[2, (-a
- I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))] - I*PolyLog[3, (-a - I*b)/((a - I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))]))/((a^2 +
b^2)*f^2)))/(b - b*E^((2*I)*e) - I*a*(1 + E^((2*I)*e))) + ((a^2 - b^2)*f*x*(3*c^2 + 3*c*d*x + d^2*x^2)*Cos[f*x
] + (a^2 + b^2)*f*x*(3*c^2 + 3*c*d*x + d^2*x^2)*Cos[2*e + f*x] + 2*b*(3*b*(c + d*x)^2 + a*f*x*(3*c^2 + 3*c*d*x
+ d^2*x^2))*Sin[f*x])/((a*Cos[e] + b*Sin[e])*(a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])))/(6*(a^2 + b^2)*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.32, size = 2160, normalized size = 3.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^2/(a+b*tan(f*x+e))^2,x)

[Out]

4*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c*d/(a+I*b)*e^2+2*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*d^2/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*
(f*x+e))/(a+I*b))*x-4*I*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*c*d/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))-4*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c
^2/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+4*I*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^2*e/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+2*I*b^2/(b-I*a)/f
^2/(I*a+b)^2*d^2/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x+2*I*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^2/(a+I*b)*ln
(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*e-2*b^3/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*c*d/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b
-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*d^2/(a+I*b)*polylog(3,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))
-2*b^2/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c^2/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+2*b/(b-I*a)
/f^2/(I*a+b)^2*a*c*d/(a+I*b)*polylog(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))+2*b^3/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^2*e/(a+
I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-4*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*d^2*e^2/(a+I*b)*x+4
*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c*d*e/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+2*I*b^2/(
b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^2*e/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)*a+4*I*b/(b-I*a)/f
^2/(I*a+b)^2*a*c*d/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*e+4*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c*d/(a+I*b)*ln
(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*x-2*I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a^2*d^2*e^2/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f
*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-2*I*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*c*d/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a
*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)*a+8*I*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a*c*d*e/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+4*b/(b-I*a)/(I*a+b)^
2*a*c*d/(a+I*b)*x^2-8/3*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*d^2*e^3/(a+I*b)+4*b^2/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*d^2/(a+I*b)*e*x-
1/3/(2*I*a*b-a^2+b^2)*d^2*x^3-1/(2*I*a*b-a^2+b^2)*c^2*x+4*I*b/(b-I*a)/f^2/(I*a+b)^2*a^2*c*d*e/(a+I*b)/(I*b-a)*
ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)+4/3*b/(b-I*a)/(I*a+b)^2*a*d^2/(a+I*b)*x^3+2*b^2/(b-I*a)/f/(I
*a+b)^2*d^2/(a+I*b)*x^2+2*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^2/(a+I*b)*e^2+b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*d^2/(a+I*b)*poly
log(2,(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))+8*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*c*d/(a+I*b)*e*x-2*b^2/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*
a*d^2*e^2/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-4*I*b/(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*d^2*
e^2/(a+I*b)*ln(exp(I*(f*x+e)))+2*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a*d^2/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*
x^2-2*I*b/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2*a^2*c^2/(a+I*b)/(I*b-a)*ln(I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a*exp(2*I*(f*x+e))-I*b-a)-2*I*b/
(b-I*a)/f^3/(I*a+b)^2*a*d^2/(a+I*b)*ln(1-(I*b-a)*exp(2*I*(f*x+e))/(a+I*b))*e^2-1/(2*I*a*b-a^2+b^2)*c*d*x^2-2*I
*b^2*(d^2*x^2+2*c*d*x+c^2)/(b-I*a)/f/(I*a+b)^2/(b*exp(2*I*(f*x+e))+I*a*exp(2*I*(f*x+e))-b+I*a)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 5.49431, size = 3464, normalized size = 5.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(2*c*d*e*(2*a*b*log(b*tan(f*x + e) + a)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*f) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^4 + 2*a
^2*b^2 + b^4)*f) - b/((a^2*b + b^3)*f*tan(f*x + e) + (a^3 + a*b^2)*f) + (a^2 - b^2)*(f*x + e)/((a^4 + 2*a^2*b^
2 + b^4)*f)) - (2*a*b*log(b*tan(f*x + e) + a)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4 + 2*a
^2*b^2 + b^4) + (a^2 - b^2)*(f*x + e)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - b/(a^3 + a*b^2 + (a^2*b + b^3)*tan(f*x + e)))*
c^2 - ((a^3 - I*a^2*b + a*b^2 - I*b^3)*(f*x + e)^3*d^2 + (3*a^3 - 3*I*a^2*b + 3*a*b^2 - 3*I*b^3)*(f*x + e)*d^2
*e^2 - 6*(-I*a*b^2 + b^3)*d^2*e^2 - ((3*a^3 - 3*I*a^2*b + 3*a*b^2 - 3*I*b^3)*d^2*e - (3*a^3 - 3*I*a^2*b + 3*a*
b^2 - 3*I*b^3)*c*d*f)*(f*x + e)^2 + ((6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*d^2*e^2 - 6*(I*a*b^2 - b^3)*d^2*e - 6*(-I*a*b^2 + b
^3)*c*d*f + ((6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*d^2*e^2 - 6*(I*a*b^2 + b^3)*d^2*e - 6*(-I*a*b^2 - b^3)*c*d*f)*cos(2*f*x + 2
*e) - (6*(a^2*b - I*a*b^2)*d^2*e^2 - (6*a*b^2 - 6*I*b^3)*d^2*e + (6*a*b^2 - 6*I*b^3)*c*d*f)*sin(2*f*x + 2*e))*
arctan2(-b*cos(2*f*x + 2*e) + a*sin(2*f*x + 2*e) + b, a*cos(2*f*x + 2*e) + b*sin(2*f*x + 2*e) + a) + ((-6*I*a^
2*b + 6*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 + ((12*I*a^2*b - 12*a*b^2)*d^2*e + (-12*I*a^2*b + 12*a*b^2)*c*d*f - 6*(I*a*b^2
- b^3)*d^2)*(f*x + e) + ((-6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 + ((12*I*a^2*b + 12*a*b^2)*d^2*e + (-12*I*a^2*
b - 12*a*b^2)*c*d*f - 6*(I*a*b^2 + b^3)*d^2)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + (6*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^
2 - (12*(a^2*b - I*a*b^2)*d^2*e - 12*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d*f - (6*a*b^2 - 6*I*b^3)*d^2)*(f*x + e))*sin(2*f*x +
2*e))*arctan2((2*a*b*cos(2*f*x + 2*e) - (a^2 - b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2), (2*a*b*sin(2*f*x + 2*e) +
a^2 + b^2 + (a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) + ((a^3 - 3*I*a^2*b - 3*a*b^2 + I*b^3)*(f*x + e)^3*d^2
- ((3*a^3 - 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 + 3*I*b^3)*d^2*e - (3*a^3 - 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 + 3*I*b^3)*c*d*f + 6*(I*a*b^2
+ b^3)*d^2)*(f*x + e)^2 + ((3*a^3 - 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 + 3*I*b^3)*d^2*e^2 - 12*(-I*a*b^2 - b^3)*d^2*e - 12*(I
*a*b^2 + b^3)*c*d*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + ((-6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*(f*x + e)*d^2 + (6*I*a^2*b - 6*a*b^
2)*d^2*e + (-6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*c*d*f - 3*(I*a*b^2 - b^3)*d^2 + ((-6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*(f*x + e)*d^2 + (6*I
*a^2*b + 6*a*b^2)*d^2*e + (-6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*c*d*f - 3*(I*a*b^2 + b^3)*d^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (6*(a^2*b -
I*a*b^2)*(f*x + e)*d^2 - 6*(a^2*b - I*a*b^2)*d^2*e + 6*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d*f + (3*a*b^2 - 3*I*b^3)*d^2)*sin
(2*f*x + 2*e))*dilog((I*a + b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(-I*a + b)) + (3*(a^2*b + I*a*b^2)*d^2*e^2 - (3*a*b^2 + 3*I
*b^3)*d^2*e + (3*a*b^2 + 3*I*b^3)*c*d*f + (3*(a^2*b - I*a*b^2)*d^2*e^2 - (3*a*b^2 - 3*I*b^3)*d^2*e + (3*a*b^2
- 3*I*b^3)*c*d*f)*cos(2*f*x + 2*e) + ((3*I*a^2*b + 3*a*b^2)*d^2*e^2 - 3*(I*a*b^2 + b^3)*d^2*e - 3*(-I*a*b^2 -
b^3)*c*d*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*
f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 + 2*(a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e)) + (3*(a^2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 - (6*(a^2*b
+ I*a*b^2)*d^2*e - 6*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d*f - (3*a*b^2 + 3*I*b^3)*d^2)*(f*x + e) + (3*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x
+ e)^2*d^2 - (6*(a^2*b - I*a*b^2)*d^2*e - 6*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d*f - (3*a*b^2 - 3*I*b^3)*d^2)*(f*x + e))*cos(
2*f*x + 2*e) + ((3*I*a^2*b + 3*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 + ((-6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*d^2*e + (6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*
c*d*f - 3*(-I*a*b^2 - b^3)*d^2)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))*log(((a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*a*b*sin(2
*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 + 2*(a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) + (3*(
a^2*b - I*a*b^2)*d^2*cos(2*f*x + 2*e) + (3*I*a^2*b + 3*a*b^2)*d^2*sin(2*f*x + 2*e) + 3*(a^2*b + I*a*b^2)*d^2)*
polylog(3, (I*a + b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(-I*a + b)) + ((I*a^3 + 3*a^2*b - 3*I*a*b^2 - b^3)*(f*x + e)^3*d^2 +
((-3*I*a^3 - 9*a^2*b + 9*I*a*b^2 + 3*b^3)*d^2*e + (3*I*a^3 + 9*a^2*b - 9*I*a*b^2 - 3*b^3)*c*d*f + (6*a*b^2 - 6
*I*b^3)*d^2)*(f*x + e)^2 + ((3*I*a^3 + 9*a^2*b - 9*I*a*b^2 - 3*b^3)*d^2*e^2 - (12*a*b^2 - 12*I*b^3)*d^2*e + (1
2*a*b^2 - 12*I*b^3)*c*d*f)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))/((3*a^5 - 3*I*a^4*b + 6*a^3*b^2 - 6*I*a^2*b^3 + 3*a*b^
4 - 3*I*b^5)*f^2*cos(2*f*x + 2*e) + (3*I*a^5 + 3*a^4*b + 6*I*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 3*I*a*b^4 + 3*b^5)*f^2*sin(
2*f*x + 2*e) + (3*a^5 + 3*I*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*I*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + 3*I*b^5)*f^2))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.13602, size = 3513, normalized size = 5.37 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/6*(2*(a^3 - a*b^2)*d^2*f^3*x^3 - 6*b^3*c^2*f^2 - 6*(b^3*d^2*f^2 - (a^3 - a*b^2)*c*d*f^3)*x^2 - 6*(2*b^3*c*d*
f^2 - (a^3 - a*b^2)*c^2*f^3)*x + (-6*I*a^2*b*d^2*f*x - 6*I*a^2*b*c*d*f - 3*I*a*b^2*d^2 + (-6*I*a*b^2*d^2*f*x -
6*I*a*b^2*c*d*f - 3*I*b^3*d^2)*tan(f*x + e))*dilog(-((2*I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*a^2 - 2*I*a*b + (2*
I*a^2 + 4*a*b - 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2) + 1) + (6*I*a^2*b*d^2*f*x + 6*
I*a^2*b*c*d*f + 3*I*a*b^2*d^2 + (6*I*a*b^2*d^2*f*x + 6*I*a*b^2*c*d*f + 3*I*b^3*d^2)*tan(f*x + e))*dilog(-((-2*
I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*a^2 + 2*I*a*b + (-2*I*a^2 + 4*a*b + 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(
f*x + e)^2 + a^2 + b^2) + 1) + 6*(a^2*b*d^2*f^2*x^2 - a^2*b*d^2*e^2 + 2*a^2*b*c*d*e*f + a*b^2*d^2*e + (2*a^2*b
*c*d*f^2 + a*b^2*d^2*f)*x + (a*b^2*d^2*f^2*x^2 - a*b^2*d^2*e^2 + 2*a*b^2*c*d*e*f + b^3*d^2*e + (2*a*b^2*c*d*f^
2 + b^3*d^2*f)*x)*tan(f*x + e))*log(((2*I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*a^2 - 2*I*a*b + (2*I*a^2 + 4*a*b - 2
*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + 6*(a^2*b*d^2*f^2*x^2 - a^2*b*d^2*e^2 + 2*a^2
*b*c*d*e*f + a*b^2*d^2*e + (2*a^2*b*c*d*f^2 + a*b^2*d^2*f)*x + (a*b^2*d^2*f^2*x^2 - a*b^2*d^2*e^2 + 2*a*b^2*c*
d*e*f + b^3*d^2*e + (2*a*b^2*c*d*f^2 + b^3*d^2*f)*x)*tan(f*x + e))*log(((-2*I*a*b + 2*b^2)*tan(f*x + e)^2 + 2*
a^2 + 2*I*a*b + (-2*I*a^2 + 4*a*b + 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + 6*(a^2*
b*d^2*e^2 + a^2*b*c^2*f^2 - a*b^2*d^2*e - (2*a^2*b*c*d*e - a*b^2*c*d)*f + (a*b^2*d^2*e^2 + a*b^2*c^2*f^2 - b^3
*d^2*e - (2*a*b^2*c*d*e - b^3*c*d)*f)*tan(f*x + e))*log(((I*a*b + b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 + I*a*b + (I*a^2 +
I*b^2)*tan(f*x + e))/(tan(f*x + e)^2 + 1)) + 6*(a^2*b*d^2*e^2 + a^2*b*c^2*f^2 - a*b^2*d^2*e - (2*a^2*b*c*d*e
- a*b^2*c*d)*f + (a*b^2*d^2*e^2 + a*b^2*c^2*f^2 - b^3*d^2*e - (2*a*b^2*c*d*e - b^3*c*d)*f)*tan(f*x + e))*log((
(I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + I*a*b + (I*a^2 + I*b^2)*tan(f*x + e))/(tan(f*x + e)^2 + 1)) + 3*(a*b^2*d^
2*tan(f*x + e) + a^2*b*d^2)*polylog(3, ((a^2 + 2*I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 - 2*I*a*b + b^2 + (2*I*a^2
- 4*a*b - 2*I*b^2)*tan(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + 3*(a*b^2*d^2*tan(f*x + e) + a^2*b
*d^2)*polylog(3, ((a^2 - 2*I*a*b - b^2)*tan(f*x + e)^2 - a^2 + 2*I*a*b + b^2 + (-2*I*a^2 - 4*a*b + 2*I*b^2)*ta
n(f*x + e))/((a^2 + b^2)*tan(f*x + e)^2 + a^2 + b^2)) + 2*((a^2*b - b^3)*d^2*f^3*x^3 + 3*a*b^2*c^2*f^2 + 3*(a*
b^2*d^2*f^2 + (a^2*b - b^3)*c*d*f^3)*x^2 + 3*(2*a*b^2*c*d*f^2 + (a^2*b - b^3)*c^2*f^3)*x)*tan(f*x + e))/((a^4*
b + 2*a^2*b^3 + b^5)*f^3*tan(f*x + e) + (a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*f^3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: AttributeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**2/(a+b*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

Exception raised: AttributeError

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{2}}{{\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2/(b*tan(f*x + e) + a)^2, x)